Beykozlu
New member
Hollanda’daki Radboud Üniversitesi’nde öğrenci olan Lisanne Taams, doktora derecesi üzerinde çalışıyor. onun sözleriyle, “yığın eğriler üzerindeki vektör demetlerinin modül yığınlarının hesaplama motifleri” hakkında.
Bayan Taams, “Bunu düzgün bir şekilde söylemem bile iki yılımı aldı,” dedi. Ancak, diye ekledi, son zamanlarda daha somut bir tefekkür üzerinde zaman geçirdiği için, bu tür soyutlama yükseklikleri yalnızca zevkini artırdı: bir karenin benzer dikdörtgenlere nasıl bölünebileceğini saymak.
Bu geometrik bulmacayı Mastodon sosyal ağı içindeki bir topluluk olan Mathstodon’da buldu. 2017 baharında İngiltere’deki iki matematikçi, Christian Lawson-Perfect ve Colin Wright tarafından oluşturulan Mathstodon’daki kayıtlı hesapların toplamı Eylül ayında yaklaşık 3.000’di. O zamandan beri, Twitter çıkışıyla birlikte sayı yaklaşık 13.000’e yükseldi.
Bulmaca, Riverside’daki California Üniversitesi’nde matematiksel fizikçi olan John Carlos Baez tarafından Aralık ayında yayınlandı.
“Bir kareyi aynı oranlara sahip üç dikdörtgene bölmenin üç yolu vardır!” Baez yazdı.
Cevabı Wikipedia’dan ödünç aldığı üç resimle açıkladı:
Kredi… David Eppstein
Soldaki resimde, dikdörtgenler genişliklerinin üç katı uzunluğunda, diye açıkladı bir e-postada. Ortadaki resimde, dikdörtgenler geniş oldukları sürece bir buçuk katıdır. Baez, “Üçüncü çözüm daha aldatıcı,” dedi. Dikdörtgenler, “geniş olduklarından yaklaşık 1,75487 kat daha uzun, ancak bir dikdörtgen döndürüldüğünden kısa ve bodur” diye ekledi.
Baez, 1.75487 sayısının matematikçilerin ilgisini çektiğini kaydetti. “Bu, daha ünlü ‘altın orana’ benzer pek çok özelliği olan bir sayı olan ‘plastik oranın’ karesidir” dedi.
Bu temeli attıktan sonra Dr. Baez, Mathstodon takipçilerine sordu: “Bir kareyi dört benzer dikdörtgene bölerseniz ne olur? Hangi oranlara sahip olabilirler?
Yemi ilk alanlar arasında Delhi’deki Hindistan Teknoloji Enstitüsü’nde bilgisayar bilimcisi olan Rahul Narain de vardı. Biyografisinde “Harika olmadan önce Mastodon’daydım” diyor (Aralık 2017’de katıldı). “Ve şu anda tüm havalı insanların burada olması gerçeği biraz rahatsız edici.”
Dr. Narain bulmacayı çözmek için sistematik bir strateji taslağı çizdi, ancak başka birinin bunu gerçekleştireceğini umdu. Dr. Baez’e verdiği yanıtta dediği gibi, “Şu anda gerçekten üzerinde çalışmam gereken başka şeyler var, bundan daha fazla inek saldırısına uğramayı göze alamam!”
11 çözüm olduğu ortaya çıktı – bir kareyi benzer oranlara sahip dört dikdörtgene bölmenin 11 yolu. Çözümler, Körfez Bölgesi’nde bağımsız bir yazılım geliştiricisi olan Ian Henderson ve Foster + Partners’ta mimarlar için yazılım geliştiren bir tasarım sistemleri analisti olarak çalışan, Bristol, İngiltere’den Daniel Piker’in önemli girdileriyle kademeli olarak birikti.
Baez, başka pek çok kişinin de yardımcı olduğunu söyledi. “Bu yüzden eğlenceliydi.”
Bayan Taams, elle 11 çözüm buldu ve kısa süre sonra birkaç hata yaptığını keşfetti. Daha sonra bilgisayarın işi yapmasına izin vermeye karar verdi. Yazılım yazdı ve bazı görüntüler oluşturdu. Ancak ilerlemeyi çevrimiçi olarak kontrol ettiğinde, “Başkalarının zaten çok daha fazla fotoğrafı olduğunu gördüm” dedi Bayan Taams.
Geometrik animasyonlar yapmaktan keyif alan Bay Piker, 11 seçeneğin hepsini çizmişti:
Kredi… daniel piker
Sorunun sadeliği onu çeken şeydi. Bay Piker, “Daha önce bakılmamış gibi görünen bu kadar basit bir şeyin olmasının harika olduğunu düşündüm,” dedi.
Ancak, “Matematik hızla anlayışımın ötesine geçti” diye ekledi.
Bayan Taams tarafından yayınlanan bir kanıttan bir anlam çıkarabiliyordu, ancak bu onun kolayca üretebileceği bir şey değildi. Bilimsel bir dizgi dili olan LaTeX ile oluşturulmuş teknik pasajlar içeren 11 bölümlük bir başlık yayınladı ve bu mütevazi geometri bulmacasının daha ciddi ve resmi matematikle bağlantılı olduğunu gösterdi.
Başka bir deyişle, uzun kenarların kısa kenarlara oranının “cebirsel sayılar” olduğuna dair bir kanıt buldu, sayılar teorisinde önemli bir konu.
Dr. Baez, “Bunun temeline henüz yaklaştığımızı sanmıyorum,” dedi. “Ama bu iyi bir adım.”
Londra Üniversitesi, Birkbeck’ten matematikçi Sarah Hart – matematik ve edebiyat arasındaki bağlantıları araştıran “Once Upon a Prime” adlı kitabı Nisan ayında çıkıyor – bu dikdörtgen rekreasyonu “harika” ve “sevimli” olarak nitelendirdi. (Mathstodon arayışına katılmamıştı.)
“Bir sorunu güzel yapan nedir?” dedi. “Bu zor bir soru.” Dr. Hart için, sorunun tarif edilmesinin ve oynamasının kolay olması yardımcı olur – “basit örneklerle hemen ellerinizi kirletebilirsiniz.” Ve eğer “nefis bir şekilde karmaşık ve zorlayıcı hale gelirse.”
Dr. Hart ayrıca “en ilginç sorunların çoğu bunun gibi eğlencelerden kaynaklanır” dedi.
Bayan Taams, hesaplamalı olarak kanıtını buldu ve sonra üzerinde daha fazla düşündü. Hesaplamalar bir dizi denklem üretti, dedi. “Ve sonra merak ediyorsun, ‘Oh, tüm denklemler bunlar mı? Evet mi hayır mı?’” Sadece üç örneğe bakarak cevabın “Evet” olduğuna kendini ikna etti. “Nedenini tartışmak biraz zor. Resimlere bakarsanız, onu bir nevi görürsünüz.”
(Daha resmi olarak, Bayan Taams, bir karenin benzer bir dikdörtgenini gerçekleştirirken – yani onu benzer dikdörtgenlerden oluşan bir sayıya (N) bölerken – oranın en fazla N dereceli cebirsel bir sayı olduğunu kanıtladı.)
Çevrimiçi tartışma bir noktada William Tutte ve işbirlikçilerinin 1930’larda elektrik devresi teorisiyle ilgili “karenin karesini alma” konulu benzer bir soruşturmasına dönüştü.
Dr. Baez, “Her bir karenin yüksekliğini ve genişliğini bir elektrik devresindeki voltaj ve akımla ilişkili olarak düşünebildiğiniz ortaya çıktı – ve bunu kullanarak, elektrik devresi teorisini kullanarak ‘karenin karesini’ almanın yollarını bulabilirsiniz” dedi. e-mail ile. “Dörtgen diseksiyonu için de böyle bir şey geçerli ama biz bunu henüz istismar etmedik.”
Irvine, California Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan David Eppstein, “giyotin bölme” teriminin, bir kareden dikdörtgen parçaları dikey veya yatay olarak yinelemeli olarak dilimleme sürecini tanımlamanın standart yolu olduğu yorumunu yaptı. Glasgow, Strathclyde Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan Jules Hedges, Hollandalı soyut sanatçı Piet Mondrian’dan sonra “Mondrian”ın da bu süreç için uygun bir isim olabileceğini öne sürdü. Bu, Oxford Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan Stefano Gogioso’nun “makine öğreniminde, Mondrian ağaç/ormanlarının giyotin kesimleriyle gerçekleştirilen belirli bir sınıflandırma türünü belirtmek için kullanıldığını” belirtmesine yol açtı.
11 dört yönlü dikdörtgenleme konusuna dönersek: Bu sonuç, biri tüm giyotin bölmelerini sıralayıp test eden Dr. Narain tarafından, diğeri ise daha ilgili bir yaklaşım kullanan Bay Henderson tarafından olmak üzere iki grup kodla doğrulandı.
Orada durmadılar.
“Soru aklımda belirdi, ‘Oh, peki ya beş? Ya altı?’” dedi Bay Henderson.
Hem o hem de Dr. Narain, iş bir kareyi beş benzer dikdörtgene bölmeye geldiğinde 51 çözüm buldu:
Kredi… Ian Henderson
Bay Henderson, bir kareyi altı benzer dikdörtgene bölen 245 olası dikdörtgen oran ve yedi benzer dikdörtgen için 1.371 seçenek buldu. Başlangıçta sekiz dikdörtgenden vazgeçti – denedi ama program çalışmaya devam etti. Sonunda, hafızası tükendi.
“Sistemimden çıkardım,” dedi.
Ama sonra geri döndü ve sorun gidermeye gitti ve sekiz dikdörtgen kodunda bir sorun olduğunu fark etti. Bay Henderson e-postasında “Her halükarda, bu sorun giderildiğinde, gerçekten çalışmayı bitiriyor,” dedi. “Sekiz dikdörtgen için (en azından koda göre) 8.506 farklı en boy oranı var.” Dokuz için deneyebilir.
Kredi… Ian Henderson
Bayan Taams, “Bunu düzgün bir şekilde söylemem bile iki yılımı aldı,” dedi. Ancak, diye ekledi, son zamanlarda daha somut bir tefekkür üzerinde zaman geçirdiği için, bu tür soyutlama yükseklikleri yalnızca zevkini artırdı: bir karenin benzer dikdörtgenlere nasıl bölünebileceğini saymak.
Bu geometrik bulmacayı Mastodon sosyal ağı içindeki bir topluluk olan Mathstodon’da buldu. 2017 baharında İngiltere’deki iki matematikçi, Christian Lawson-Perfect ve Colin Wright tarafından oluşturulan Mathstodon’daki kayıtlı hesapların toplamı Eylül ayında yaklaşık 3.000’di. O zamandan beri, Twitter çıkışıyla birlikte sayı yaklaşık 13.000’e yükseldi.
Bulmaca, Riverside’daki California Üniversitesi’nde matematiksel fizikçi olan John Carlos Baez tarafından Aralık ayında yayınlandı.
“Bir kareyi aynı oranlara sahip üç dikdörtgene bölmenin üç yolu vardır!” Baez yazdı.
Cevabı Wikipedia’dan ödünç aldığı üç resimle açıkladı:
Kredi… David Eppstein
Soldaki resimde, dikdörtgenler genişliklerinin üç katı uzunluğunda, diye açıkladı bir e-postada. Ortadaki resimde, dikdörtgenler geniş oldukları sürece bir buçuk katıdır. Baez, “Üçüncü çözüm daha aldatıcı,” dedi. Dikdörtgenler, “geniş olduklarından yaklaşık 1,75487 kat daha uzun, ancak bir dikdörtgen döndürüldüğünden kısa ve bodur” diye ekledi.
Baez, 1.75487 sayısının matematikçilerin ilgisini çektiğini kaydetti. “Bu, daha ünlü ‘altın orana’ benzer pek çok özelliği olan bir sayı olan ‘plastik oranın’ karesidir” dedi.
Bu temeli attıktan sonra Dr. Baez, Mathstodon takipçilerine sordu: “Bir kareyi dört benzer dikdörtgene bölerseniz ne olur? Hangi oranlara sahip olabilirler?
Yemi ilk alanlar arasında Delhi’deki Hindistan Teknoloji Enstitüsü’nde bilgisayar bilimcisi olan Rahul Narain de vardı. Biyografisinde “Harika olmadan önce Mastodon’daydım” diyor (Aralık 2017’de katıldı). “Ve şu anda tüm havalı insanların burada olması gerçeği biraz rahatsız edici.”
Dr. Narain bulmacayı çözmek için sistematik bir strateji taslağı çizdi, ancak başka birinin bunu gerçekleştireceğini umdu. Dr. Baez’e verdiği yanıtta dediği gibi, “Şu anda gerçekten üzerinde çalışmam gereken başka şeyler var, bundan daha fazla inek saldırısına uğramayı göze alamam!”
11 çözüm olduğu ortaya çıktı – bir kareyi benzer oranlara sahip dört dikdörtgene bölmenin 11 yolu. Çözümler, Körfez Bölgesi’nde bağımsız bir yazılım geliştiricisi olan Ian Henderson ve Foster + Partners’ta mimarlar için yazılım geliştiren bir tasarım sistemleri analisti olarak çalışan, Bristol, İngiltere’den Daniel Piker’in önemli girdileriyle kademeli olarak birikti.
Baez, başka pek çok kişinin de yardımcı olduğunu söyledi. “Bu yüzden eğlenceliydi.”
Bayan Taams, elle 11 çözüm buldu ve kısa süre sonra birkaç hata yaptığını keşfetti. Daha sonra bilgisayarın işi yapmasına izin vermeye karar verdi. Yazılım yazdı ve bazı görüntüler oluşturdu. Ancak ilerlemeyi çevrimiçi olarak kontrol ettiğinde, “Başkalarının zaten çok daha fazla fotoğrafı olduğunu gördüm” dedi Bayan Taams.
Geometrik animasyonlar yapmaktan keyif alan Bay Piker, 11 seçeneğin hepsini çizmişti:
Kredi… daniel piker
Sorunun sadeliği onu çeken şeydi. Bay Piker, “Daha önce bakılmamış gibi görünen bu kadar basit bir şeyin olmasının harika olduğunu düşündüm,” dedi.
Ancak, “Matematik hızla anlayışımın ötesine geçti” diye ekledi.
Bayan Taams tarafından yayınlanan bir kanıttan bir anlam çıkarabiliyordu, ancak bu onun kolayca üretebileceği bir şey değildi. Bilimsel bir dizgi dili olan LaTeX ile oluşturulmuş teknik pasajlar içeren 11 bölümlük bir başlık yayınladı ve bu mütevazi geometri bulmacasının daha ciddi ve resmi matematikle bağlantılı olduğunu gösterdi.
Başka bir deyişle, uzun kenarların kısa kenarlara oranının “cebirsel sayılar” olduğuna dair bir kanıt buldu, sayılar teorisinde önemli bir konu.
Dr. Baez, “Bunun temeline henüz yaklaştığımızı sanmıyorum,” dedi. “Ama bu iyi bir adım.”
Londra Üniversitesi, Birkbeck’ten matematikçi Sarah Hart – matematik ve edebiyat arasındaki bağlantıları araştıran “Once Upon a Prime” adlı kitabı Nisan ayında çıkıyor – bu dikdörtgen rekreasyonu “harika” ve “sevimli” olarak nitelendirdi. (Mathstodon arayışına katılmamıştı.)
“Bir sorunu güzel yapan nedir?” dedi. “Bu zor bir soru.” Dr. Hart için, sorunun tarif edilmesinin ve oynamasının kolay olması yardımcı olur – “basit örneklerle hemen ellerinizi kirletebilirsiniz.” Ve eğer “nefis bir şekilde karmaşık ve zorlayıcı hale gelirse.”
Dr. Hart ayrıca “en ilginç sorunların çoğu bunun gibi eğlencelerden kaynaklanır” dedi.
Bayan Taams, hesaplamalı olarak kanıtını buldu ve sonra üzerinde daha fazla düşündü. Hesaplamalar bir dizi denklem üretti, dedi. “Ve sonra merak ediyorsun, ‘Oh, tüm denklemler bunlar mı? Evet mi hayır mı?’” Sadece üç örneğe bakarak cevabın “Evet” olduğuna kendini ikna etti. “Nedenini tartışmak biraz zor. Resimlere bakarsanız, onu bir nevi görürsünüz.”
(Daha resmi olarak, Bayan Taams, bir karenin benzer bir dikdörtgenini gerçekleştirirken – yani onu benzer dikdörtgenlerden oluşan bir sayıya (N) bölerken – oranın en fazla N dereceli cebirsel bir sayı olduğunu kanıtladı.)
Çevrimiçi tartışma bir noktada William Tutte ve işbirlikçilerinin 1930’larda elektrik devresi teorisiyle ilgili “karenin karesini alma” konulu benzer bir soruşturmasına dönüştü.
Dr. Baez, “Her bir karenin yüksekliğini ve genişliğini bir elektrik devresindeki voltaj ve akımla ilişkili olarak düşünebildiğiniz ortaya çıktı – ve bunu kullanarak, elektrik devresi teorisini kullanarak ‘karenin karesini’ almanın yollarını bulabilirsiniz” dedi. e-mail ile. “Dörtgen diseksiyonu için de böyle bir şey geçerli ama biz bunu henüz istismar etmedik.”
Irvine, California Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan David Eppstein, “giyotin bölme” teriminin, bir kareden dikdörtgen parçaları dikey veya yatay olarak yinelemeli olarak dilimleme sürecini tanımlamanın standart yolu olduğu yorumunu yaptı. Glasgow, Strathclyde Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan Jules Hedges, Hollandalı soyut sanatçı Piet Mondrian’dan sonra “Mondrian”ın da bu süreç için uygun bir isim olabileceğini öne sürdü. Bu, Oxford Üniversitesi’nde bilgisayar bilimcisi olan Stefano Gogioso’nun “makine öğreniminde, Mondrian ağaç/ormanlarının giyotin kesimleriyle gerçekleştirilen belirli bir sınıflandırma türünü belirtmek için kullanıldığını” belirtmesine yol açtı.
11 dört yönlü dikdörtgenleme konusuna dönersek: Bu sonuç, biri tüm giyotin bölmelerini sıralayıp test eden Dr. Narain tarafından, diğeri ise daha ilgili bir yaklaşım kullanan Bay Henderson tarafından olmak üzere iki grup kodla doğrulandı.
Orada durmadılar.
“Soru aklımda belirdi, ‘Oh, peki ya beş? Ya altı?’” dedi Bay Henderson.
Hem o hem de Dr. Narain, iş bir kareyi beş benzer dikdörtgene bölmeye geldiğinde 51 çözüm buldu:
Kredi… Ian Henderson
Bay Henderson, bir kareyi altı benzer dikdörtgene bölen 245 olası dikdörtgen oran ve yedi benzer dikdörtgen için 1.371 seçenek buldu. Başlangıçta sekiz dikdörtgenden vazgeçti – denedi ama program çalışmaya devam etti. Sonunda, hafızası tükendi.
“Sistemimden çıkardım,” dedi.
Ama sonra geri döndü ve sorun gidermeye gitti ve sekiz dikdörtgen kodunda bir sorun olduğunu fark etti. Bay Henderson e-postasında “Her halükarda, bu sorun giderildiğinde, gerçekten çalışmayı bitiriyor,” dedi. “Sekiz dikdörtgen için (en azından koda göre) 8.506 farklı en boy oranı var.” Dokuz için deneyebilir.
Kredi… Ian Henderson